Luận văn Chiều phức của các dây Fractal tự đồng dạng

Nội dung tài liệu: Luận văn Chiều phức của các dây Fractal tự đồng dạng

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Văn Cưu CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Văn Cưu CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu của đề tài là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Học viên cao học Võ Văn Cưu
4. LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn cao học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn quý thầy trong tổ Giải tích, khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp học tập trong suốt quá trình học Cao học. Đặc biệt, tôi xin trân trọng gửi đến thầy – Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Chính thầy là người đã giúp tôi hình thành ý tưởng thực hiện luận văn, đồng thời hướng dẫn một cách rất tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của bạn bè và gia đình đã giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Võ Văn Cưu
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu Danh mục các hình MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 Chương 1. GIỚI THIỆU VỀ CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL ............ 3 1.1. Chiều Phức của dây fractal thông thường ............................................................. 4 1.1.1. Hình học của dây fractal thông thường .......................................................... 4 1.1.2. Hàm Zeta hình học của dây fractal thông thường ....................................... 10 1.1.3. Tần số của một dây fractal thông thường và hàm Zeta phổ ......................... 16 1.2. Dây fractal tổng quát ........................................................................................... 19 1.2.1. Khái niệm về dây fractal tổng quát ............................................................... 19 1.2.2. Một số ví dụ về dây fractal tổng quát ........................................................... 21 1.2.3. Tần số của dây fractal tổng quát ................................................................... 23 1.2.4. Khái niệm dây fractal tổng quát có tính chất languid ................................... 26 Chương 2. CHIỀU PHỨC CỦA DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG .................. 28 2.1. Xây dựng một dây fractal thông thường tự đồng dạng ....................................... 28 2.1.1. Dây tự đồng dạng .......................................................................................... 28 2.1.2. Mối liên hệ với tập hợp tự đồng dạng ........................................................... 30 2.2. Hàm zeta hình học của dây tự đồng dạng ........................................................... 33 2.2.1. Công thức tính hàm zeta hình học của dây tự đồng dạng ............................. 33 2.2.2. Dây tự đồng dạng với một khe hở ................................................................ 36 2.3. Ví dụ về chiều phức của dây tự đồng dạng ......................................................... 37 2.3.1. Dây Cantor .................................................................................................... 37 2.3.2. Dây Fibonacci ............................................................................................... 38 2.3.3. Dây Cantor và Fibonacci có điều chỉnh ........................................................ 42 2.3.4. Một dây với cực điểm bội ............................................................................. 43
6. 2.3.5. Hai ví dụ về dây nonlattice: Dây Hai – Ba và Dây Vàng ............................. 44 2.4. Dây lattice và nonlattice ...................................................................................... 49 2.5. Cấu trúc của chiều phức ...................................................................................... 50 2.6. Mật độ tiệm cận của các cực điểm trong trường hợp nonlattice ......................... 57 Chương 3. CHIỀU PHỨC CỦA CÁC DÂY FRACTAL TỰ ĐỒNG DẠNG NONLATTICE ...................................................................................... 60 3.1. Phương trình đa thức Dirichlet ............................................................................ 61 3.2. Vài ví dụ về phương trình đa thức Dirichlet ....................................................... 62 3.2.1. Vài ví dụ về phương trình lattice .................................................................. 62 3.2.2. Vài ví dụ về phương trình generic nonlattice và nongeneric nonlattice ....... 62 3.3. Cấu trúc của nghiệm phức ................................................................................... 63 3.4. Xấp xỉ phương trình nonlattice bởi các phương trình lattice .............................. 69 3.4.1. Xấp xỉ Diophant ............................................................................................ 72 3.4.2. Mẫu tựa tuần hoàn của các chiều phức ......................................................... 76 Chương 4. LÂN CẬN HÌNH ỐNG VÀ TÍNH ĐO ĐƯỢC MINKOWSKI ............ 83 4.1. Một số kết quả chuẩn bị ...................................................................................... 83 4.1.1. Công thức về hàm đếm dạng phân bố của dây fractal tổng quát .................. 83 4.1.2. Các số hạng hình học địa phương ................................................................. 89 4.2. Công thức tính thể tích lân cận hình ống ............................................................ 90 4.3. Tính đo được Minkowski và các chiều phức ...................................................... 96 4.4. Công thức hình ống của các dây tự đồng dạng ................................................... 99 4.4.1. Tính chất languid của dây fractal tự đồng dạng ........................................... 99 4.4.2. Công thức hình ống của dây Cantor tổng quát ............................................. 99 4.4.3. Dây tự đồng dạng lattice ............................................................................. 100 4.4.4. Dây tự đồng dạng nonlattice ....................................................................... 106 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 110
7. DANH MỤC KÍ HIỆU tập các số nguyên không âm. * \0  tập các số nguyên dương. tập các số nguyên. tập các số hữu tỷ. tập các số thực. * tập các số thực dương. tập các số phức. x số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x (phần nguyên của x). x x\ x phần thập phân của x (phần phân của x). fx() f( x ) O ( g ( x )) bị chặn. gx() f( x ) o ( g ( x )) dần về 0. f()() x g x dần về 1. # A số phần tử của tập hữu hạn A. 푣표푙1 độ đo Lebesgue một chiều trên ℝ. (휀) thể tích của lân cận hình ống bên trong của 휕Ω với bán kính 휀. ∞ ℒ = {푙 } biểu thị của dây fractal thông thường. 푗 푗=1  biểu thị của dây (fractal) tổng quát.  đô đo biến phân toàn phần tương ứng với độ đo  . ℒ ( N ) hàm đếm các nghịch đảo của độ dài của fractal thông thường ℒ ( dây tổng quát ). 푣 hàm đếm tần số hay hàm đếm phổ.
8. ℒ ( D ) số chiều của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát ). = ( ; ℒ) dung lượng Minkowski của dây fractal thông thường ℒ. ∗ = ∗( ; ℒ) dung lượng trên Minkowski của dây fractal thông thường ℒ. ∗ = ∗( ; ℒ) dung lượng dưới Minkowski của dây fractal thông thường ℒ. 풲푙 số bội của độ dài l của dây fractal thông thường ℒ. (푣) 풲 số bội tổng của tần số . CS dây Cantor một phần ba. Fib dây Fibonacci. GS dây vàng (golden string). ℎ dây điều hòa.  dây nguyên tố.  hàm zeta Riemann. ℒ hàm zeta hình học của dây fractal thông thường ℒ. 푣 ( ) hàm zeta phổ của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát ). 푆: 푆(푡) + 푖푡 (푡 ∈ ℝ), 푊 = {푠 ∈ ℂ: Re 푠 ≥ 푆(Im 푠)}: màn và cửa sổ. 픇ℒ(푊) (픇휂(푊)) tập hợp các chiều phức nhìn thấy được qua cửa sổ W của dây fractal thông thường ℒ ( dây tổng quát ). 픇ℒ(ℂ) (픇휂(ℂ)) tập hợp các chiều phức của dây fractal thông thường ℒ (dây tổng quát ).  ' tích chập của hai dây tổng quát  và  '. 1, 2, , các hệ số tỉ lệ của phép đồng dạng co. 1, 2, , 퐾 các hệ số tỉ lệ của các khe hở hoặc là độ dài các khe hở. ( ) 푒푠(ℒ 푠 ; ) thặng dư của hàm ℒ tại D. ord(;) f s cấp của hàm f tại s. 픇 = 픇(푊) ước của một hàm phân hình f trên tập đóng W . N k  nguyên hàm thứ k của dây fractal tổng quát  triệt tiêu tại 0. 
9. k P nguyên hàm thứ của phân bố  . 픇(0, ∞) không gian các hàm lớp C với giá compact trong (0, ∞). k  sai số dạng phân bố. 휑̃ phép biến đổi Mellin của .
10. DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1. Một đàn hạc fractal ...................................................................................... 5 Hình 1.2. Dây Cantor ................................................................................................... 6 Hình 1.3. Lân cận hình ống bán kính trong 0,037 của dây Cantor .............................. 7 −1 Hình 1.4. Hàm 휀 ( 푆(휀) + 2휀), cộng tính ............................................................. 8 −1 Hình 1.5. Hàm 휀 ( 푆(휀) + 2휀) tuần hoàn nhân .................................................... 9 Hình 1.6. Màn S và Cửa sổ W ................................................................................... 14 Hình 2.1. Xây dựng một dây tự đồng dạng với bốn hệ số tỉ lệ = 1 , = = 1 4 2 3 1 1 = và hai khe hở = = .............................................................. 29 4 6 1 2 8 Hình 2.2. Phép lặp thứ nhất trong việc xây dựng tập hợp tự đồng dạng F với các hệ số tỉ lệ 1, , 4 và khe hở ban đầu có độ dài ( = 1,2,3). ......................................................................................... 32 Hình 2.3. Xây dựng một dây fractal tự đồng dạng với = 4 và các phép biến đổi đồng dạng với các hệ số tỉ lệ = 1 , = = = 1 và một khe 1 4 2 3 4 6 1 hở = .................................................................................................... 36 1 4 Hình 2.4. Chiều phức của dây Cantor. = log3 2 và 퐩 = 2 ⁄log 3 ....................... 38 Hình 2.5. Chiều phức của dây Fibonacci. = log2 휙 và 퐩 = 2 / log 2 ................. 40 1− −1 −1 Hình 2.6. Hàm cộng tính 2 1(log2(2휀) ) và 휀 ( 퐹푖 (휀) + 2휀) .................... 41 1− −1 −1 Hình 2.7. Hàm có tính nhân 2 1(log2(2휀) ) và 휀 ( 퐹푖 (휀) + 2휀) .............. 41 Hình 2.8. Xây dựng dây Cantor thay đổi, với năm hệ số tỉ lệ = = = 1 , 1 2 3 9 1 1 1 1 = = , và bốn khe hở = = , = , = . .................. 42 4 5 27 1 3 9 2 3 4 27 Hình 2.9. Chiều phức của dây với cực điểm bội. = 푙표 3 2 và 퐩 = 2 /log3. Ở đây, kí hiệu ∘ 2 có nghĩa là ực c điểm cấp hai ........................................ 44 Hình 2.10. Chiều phức của dây nonlattice với các hệ số tỉ lệ = 1 , = 1 và 1 2 2 3 1 một khe hở = . ..................................................................................... 46 1 6 Hình 2.11. Chiều phức của dây vàng (dây nonlattice với các hệ số tỉ lệ −1 −휙 1 = 2 và 2 = 2 ). ............................................................................. 47