Luận văn Các kích thích ripplon trên bề mặt của ngưng tụ bose – einstein hai thành phần

Nội dung tài liệu: Luận văn Các kích thích ripplon trên bề mặt của ngưng tụ bose – einstein hai thành phần

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== PHÙNG MINH NGỌC CÁC KÍCH THÍCH RIPPLON TRÊN BỀ MẶT CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THỤ HÀ NỘI - 2017
2. LỜI CẢM ƠN Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành vật lí lí thuyết và vật lí toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2017 Tác giả Phùng Minh Ngọc
3. LỜI CAM ĐOAN Dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành vật lí lí thuyết và vật lí toán với đề tài“Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2017 Tác giả Phùng Minh Ngọc
4. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEC (Bose – Einstein condensate) Ngƣng tụ Bose – Einstein BdG Bogoliubov-de Genns DPA (Double – parabola approximation) Gần đúng parabol kép GPE (Gross – Pitaevskii equation) Phƣơng trình Gross – Pitaevskii
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 Chƣơng 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN ................................................................................................... 3 1.1 . Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 3 1.2. Tổng quan nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein ............................... 10 1.2.1 Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose – Einstein ........................................ 10 1.2.2 Một số ứng dụng của ngƣng tụ Bose – Einstein ................................ 16 Chƣơng2. LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ......................................... 24 2.1. Gần đúng trƣờng trung bình ................................................................... 24 2.2. Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần. ............ 27 CHƢƠNG 3. SÓNG MAO DẪN TRÊN MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN ............................................. 31 3.1 .Hệ phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes. ............................................... 31 3.2. Gần đúng parabol kép ............................................................................ 32 3.2.1 Sơ lƣợc về gần đúng parabol kép ...................................................... 32 3.2.2 Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép .................................. 33 3.3. Sóng mao dẫn trong gần đúng parabol kép. ............................................ 34 KẾT LUẬN .................................................................................................. 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39
6. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Albert Einstein (1897 -1955) là nhà vật lý ngƣời Đức. Ông đƣợc coi là một trong những nhà khoa học có ảnh hƣởng nhất của thế kỉ 20 và là cha đẻ của vật lý hiện đại. Nói tới Einstein không thể không nhắc tới hàng loạt những công trình nghiên cứu của ông, một trong số đó là ngƣng tụ Bose – Einstein (Bose – Einstein condensate – BEC) đƣợc tạo ra đầu tiên trên thế giới từ những nguyên tử lạnh năm 1995. Bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon nhƣ một chất khí của nhiều hạt đồng nhất Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tƣởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tƣởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bƣớc sóng cùa chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và tạo nên một trạnh thái lƣợng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu nguyên tử tức là một BEC. Trong BEC, các kích thích bề mặt có vai trò rất quan trọng trong các ứng dụng của nó, đặc biệt trong công nghệ điện tử. Để nghiên cứu các kích thích này, chúng ta phải giải hệ bốn phƣơng trình vi phân bậc hai liên kết với nhau. Hiện nay việc này chỉ có thể thực hiện đƣợc bằng cách tính số.Với mục đích đƣa ra một gần đúng có thể giải giải tích đƣợc hệ phƣơng trình này, tôi chọn đề tài “Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong vật lý thống kê và cơ học lƣợng tử nói riêng trong vật lý lý thuyết nói chung.
7. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần trên cơ sở thống kê Bose – Einstein, phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes tổng quát. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Phƣơng trình Bogoliubov-de Gennes. Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần. 5. Những đóng góp mới của đề tài Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần có những đóng góp quan trọng trong vật lý thống kê và cơ học lƣợng tử nói riêng, trong vật lý lý thuyết nói chung. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng gần đúng parabol kép.
8. 3 Chƣơng 1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 . Thống kê Bose – Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt mà không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào. Từ công thức phân bố chính tắc lƣợng tử [1], , (1.1) trong đó là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có (1.2) với là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ của hệ và là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lƣợng . Ta thấy số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ với xác suất khác nhau. Độ suy biến trong (1.1) tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị , vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố Gibbs suy rộng hay phân bố chính tắc lớn lƣợng tử. Ta có phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng , (1.3) với , là thế hóa, là thế nhiệt động lớn. Ta thấy rằng thừa số xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính
9. 4 không phân biệt của các trạng thái và tính đồng nhất của các hạt mà ta thu đƣợc do hoán vị các hạt. Kí kiệu (1.4) Lúc đó (1.4) đƣợc viết lại nhƣ sau (1.5) Chúng ta có hai nhận xét về công thức (1.5) đó là: Thứ nhất là vế phải của (1.5) ta có thể coi là hàm của các nên ta có thể nhận thấy công thức đó nhƣ là xác suất để cho có hạt nằm trên mức , hạt nằm trên mức , có nghĩa là, đó là xác suất lấp đầy. Vì vậy nhờ công thức này ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng nhƣ sau . (1.6) Thứ hai là đại lƣợng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) của các hạt. Đối với các hệ boson và fermion là các hệ đƣợc mô tả bởi các hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, phép hoán vị tọa độ của các hạt không dẫn tới một trạng thái mới vì phép hoán vị chỉ làm cho hàm sóng đổi dấu hoặc không đổi dấu và do đó không làm thay đổi trạng thái lƣợng tử. Chính vì vậy đối với các hạt boson và hạt fermion ta có . (1.7) Ta đi tìm Ta thấy tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng
10. 5 lƣợng trong phân bố Maxwell – Boltzmann. Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phƣơng diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho . Khi đó ta có , (1.8) ta thay giá trị của vào (1.4) thu đƣợc (1.7). Để có thể tính trị trung bình của các số chứa đầy, nghĩa là số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau, chúng ta gắn cho đại lƣợng trong công thức (1.5) chỉ số , có nghĩa là sẽ coi hệ mà ta xét không phải chỉ có một thế hóa học mà là có cả một tập hợp thế hóa học . Đến cuối phép tính ta cho . Ta tiến hành phép thay thế nhƣ trên và có thể viết điều kiện chuẩn hóa nhƣ sau , (1.9) với , (1.10) có nghĩa là . (1.11) Lúc đó đạo hàm của theo dựa vào (1.10) và (1.11) (1.12) Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt thì theo (1.6) vế phải của công thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu đƣợc