Luận văn Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia

Nội dung tài liệu: Luận văn Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khôi BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khôi BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỞNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia” do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS. Bùi Tưởng Trí. Nội dung luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về luận văn của mình. Tác giả luận văn Phạm Đình Khôi
4. LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tôi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên sâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tại trường. Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Bùi Tưởng Trí. Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi đã được học ở Thầy phương pháp làm việc khoa học và sự am hiểu thấu đáo của riêng Thầy. Xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn. Tôi cũng xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô công tác tại Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, thực hiện luận văn. Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn người thân, bạn bè luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. TP. Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2020 Phạm Đình Khôi
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các kí hiệu MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................... 3 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán ....................................... 3 1.1.1. Định nghĩa nhóm ............................................................................. 3 1.1.2. Luật giản ước ................................................................................... 3 1.1.3. Đại số ............................................................................................... 4 1.1.4. Đại số nửa nhóm .............................................................................. 4 1.1.5. Định nghĩa vành .............................................................................. 4 1.1.6. Định nghĩa ideal .............................................................................. 5 1.1.7. Khái niệm ideal nguyên tố .............................................................. 5 1.1.8. Khái niệm ideal cực đại ................................................................... 5 1.1.9. Mệnh đề ........................................................................................... 5 1.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu ......... 7 1.2.1. Định nghĩa vành địa phương ............................................................. 7 1.2.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán .............................................. 9 Chương 2. VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HÓA KHÔNG GIAO HOÁN ........ 14 2.1. Một số khái niệm cơ bản về vành không giao hoán ...................................... 15 2.1.1. Miền nguyên (không giao hoán) ................................................... 15 2.1.2. Vành chia ....................................................................................... 15 2.1.3. Nửa nhóm (không giao hoán) ........................................................ 15 2.1.4. Nửa nhóm tự do ............................................................................. 15
6. 2.1.5. Đại số nửa nhóm kH trong một vành không giao hoán có đơn vị ............................................................................................. 17 2.2. Bổ đề ................................................................................................................................. 17 2.3. Định lí............................................................................................................................... 19 2.4. Định lí............................................................................................................................... 21 Chương 3. MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU GỢI MỞ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN ................................................ 23 3.1. Vấn đề bổ sung thứ tự trên H ............................................................................... 23 3.2. Tựa - đồng nhất thức (Quasi – identities) ..................................................... 23 3.3. Một số định nghĩa và định lý liên quan địa phương hóa trong vành không giao hoán ............................................................................................. 24 3.3.1. Mệnh đề ........................................................................................... 27 3.3.2. Ví dụ ................................................................................................ 27 3.4. Những điều kiện cần cho khả năng nhúng của một miền R vào một vành chia ............................................................................................................. 29 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 31
7. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số tự nhiên. : Tập số nguyên. : Tập số hữu tỉ. : Tập số thực. : Tập số phức.  : Tổng. RS : Địa phương hóa của miền nguyên R tại tập nhân S. UR( ) : Nhóm các phần tử khả nghịch của vành R . IBN : Đồng cấu vào trong trường k.
8. 1 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết trong vành giao hoán (có đơn vị) thì mọi miền nguyên đều có thể nhúng đẳng cấu vào một trường (trường các thương của nó). Bài toán hoàn toàn tương tự cho các vành không giao hoán là khả năng nhúng một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì liệu có đơn giản như vậy hay không. Vì vành giao hoán (có đơn vị) và vành không giao hoán (có đơn vị) có vài nét khác nhau nên việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên giao hoán vào một trường thì luôn luôn làm được nhưng việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì lại không đơn giản như vậy. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài này để đưa ra một bài toán mà miền nguyên không giao hoán không thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua một ví dụ rất nổi tiếng của Mal’ Cev. Luận văn gồm ba chương : _ Chương 1: Những kiến thức cơ bản. Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa và tính chất đã biết trong đại số giao hoán và đại số không giao hoán, sau đó là giới thiệu đôi nét về việc địa phương hóa trong vành giao hoán. _ Chương 2 : Vấn đề địa phương hóa trong vành không giao hoán. Chương này trình bày đôi nét về việc địa phương hóa trong vành không giao hoán và đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi: “ phải chăng mọi miền nguyên không giao hoán đều có thể nhúng được vào trong một vành chia không giao hoán” thông qua ví dụ nổi tiếng của Mal’ Cev. _ Chương 3: Một số hướng nghiên cứu gợi mở liên quan đến bài toán.
9. 2 Phần mở rộng này trình bày một số vấn đề gợi mở làm tiền đề cho những nghiên cứu tiếp theo cho việc tìm ra điều kiện cần và đủ để có thể nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên không giao hoán vào trong một vành chia.
10. 3 Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm, tính chất đã biết trong đại số giao hoán và đại số không giao hoán có liên quan. Sau đó giới thiệu đôi nét về việc địa phương hóa trong một vành giao hoán, và dẫn đến một số tính chất cần thiết cho chương sau. 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán 1.1.1. Định nghĩa nhóm Cho G là tập hợp khác rỗng, trên G được trang bị một phép toán hai ngôi *. *:GGG→ x ( x , y) x * y a) Nếu phép toán * ở trên thỏa tính chất kết hợp, tức là : ( x**** y) z= x( y z) thì (G,*) được gọi là nửa nhóm. b) Nếu nửa nhóm G có thêm phần tử trung hòa, tức là : e G::**  x G x e = e x = x thì được gọi là vị nhóm. c) Trong vị nhóm, nếu như mọi phần tử khác phần tử trung hòa đều khả nghịch, tức là : x G,:**  y G x y = y x = e thì khi đó trở thành một nhóm. 1.1.2. Luật giản ước a) Một phần tử a trong (G,*) có tính chất giản ước trái nếu : b,:** c G a b = a c b = c . b) Một phần tử a trong có tính chất giản ước phải nếu : b, c G : b*a = c * a b = c .