Luận văn Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị

Nội dung tài liệu: Luận văn Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị

1. ĐẠI HÅC QUẩC GIA HÀ NậI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIấN NGUYỄN THU HIỀN BÀI TOÁN CALDERÂN TRONG HèNH TRÁN ĐƠN VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Hà Nởi - 2019
2. ĐẠI HÅC QUẩC GIA HÀ NậI TRƯỜNG ĐẠI HÅC KHOA HÅC TỰ NHIấN NGUYỄN THU HIỀN BÀI TOÁN CALDERÂN TRONG HèNH TRÁN ĐƠN VỊ Chuyản ngành: ToĂn giÊi tẵch MÂ số: 8 46 01 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HÅC Người hướng dăn khoa học: TS. ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nởi - 2019
3. Lời cÊm ơn Tụi xin chƠn thành cÊm ơn Ban giĂm hiằu, Ban chừ nhiằm Khoa ToĂn - Cơ - Tin học, Phỏng Sau Đại Học, Phỏng Đào tÔo, Phỏng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiản, ĐHQGHN đó tÔo điều kiằn thuên lời và giỳp đỡ tụi trong quĂ trẳnh học têp cũng như nghiản cựu. Tụi xin được gỷi lời cÊm ơn tới cĂc thƯy cụ trong Khoa ToĂn - Cơ - Tin học, trường ĐHKHTN - ĐHQGHN vã sự động viản khẵch lằ, giỳp đỡ trong suốt quĂ trẳnh học têp. Đặc biằt, tụi xin bày tỏ lỏng biát ơn sƠu sưc tới TS.Đặng Anh TuĐn, người đó luụn hướng dăn, ch¿ bÊo tên tẳnh, sĂt sao tụi trong quĂ trẳnh thực hiằn luên vôn. Tụi cũng xin gỷi lời cÊm ơn tới em Mai Thị Kim Dung, người đó giỳp tụi trong viằc sỷ dụng Latex và hoàn thiằn trẳnh bày luên vôn. Cuối cựng, tụi xin được gỷi lời cÊm ơn tới người thƠn, bÔn b± nhỳng người đó giỳp đỡ, động viản tụi trong suốt quĂ trẳnh thực hiằn luên vôn. Hà Nởi, ngày 24 thĂng 11 nôm 2019. Học viản Nguyạn Thu Hiãn 1
4. Mục lục Lời cÊm ơn 1 Danh mục kẵ hiằu 3 Mở đầu 4 1 Chuân bị 6 1.1 Mởt số kián thực giÊi tẵch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2 Khụng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2.1 Khụng gian Sobolev trản xuyán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2.2 Khụng gian Sobolev trản B ...................... 17 2 Bài toĂn biản elliptic 26 2.1 Phương trẳnh elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Ánh xÔ Dirichlet - Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Bài toĂn Calderún 35 3.1 Vẵ dụ Alessandrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Mở rởng vẵ dụ Alessandrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Mởt số vẵ dụ khĂc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kát luên 52 Tài liằu tham khÊo ................................. 54 2
5. Danh mục kẵ hiằu • N : Têp hủp số tự nhiản. • Z+ : Têp hủp số nguyản khụng Ơm. n • Z+: Têp hủp số nguyản khụng Ơm n chiãu. n • α : đa ch¿ số, α 2 Z+; α = (α1; α2; :::; αn): •j αj = α1 + α2 + ::: + αn: jαj α α @ u • D u : được định nghĩa D u = α α α : @x1 1 @x2 2 :::@xn n 2 2 2 • B = f(x1; x2) 2 R jx1 + x2 < 1g; hẳnh trỏn đơn vị tƠm tÔi gốc. • Tn là xuyán n chiãu, Tn = Rn=2πZn: • S1 = feiθjθ 2 Rg ⊂ R2 . • Với A cú thº là S1; B; Tn ta định nghĩa: Z p đđ p L (A) = fu : A −−−−−−−! Cj ju(x)j dx < 1g; 1 ≤ p < 1: Lebesgue A • C(S1): Khụng gian cĂc hàm liản tục trản R, tuƯn hoàn chu kẳ 2π. • Cm(B): Khụng gian cĂc hàm cú đạo hàm tới cĐp m liản tục trản B, với 8jαj ≤ m. 1 • C1(B): Khụng gian cĂc hàm khÊ vi vụ hÔn trản B, C1(B) = T Cm(B): m=0 • C0(B) = fu 2 C(B); supp u là têp compact trong Bg; supp u = fx 2 B : u(x) 6= 0g: m m • C0 (B) = fu 2 C (B); supp u là têp compact trong Bg: 1 1 T m • C0 (B) = C0 (B): m=0 • Cm(B) : Khụng gian cĂc hàm u cú đạo hàm Dαu liản tục đều trản B, 8jαj ≤ m. 1 • C1(B) = T Cm(B): m=0 •r u = (ux1 ; ux2 ) ; uxj ; j = 1; 2 là đạo hàm riảng cừa u theo xj: 3
6. Mở đầu X²t vêt thº dăn điện là mởt bÊn mỏng, cú thº xem là hẳnh trỏn B với tẵnh dăn γ(x): GiÊ thiát trản miãn B vêt thº khụng cú nguồn hoặc tụ. Đặt mởt điện Ăp f lản S1 s³ sinh ra mởt điện thá u trong B, thỏa mÂn bài toĂn biản Dirichlet 8 <>r ã (γru) = 0 trong B; (1) :> u = f trản S1: 1 1 1 Bài toĂn biản Dirichlet (1) cú duy nhĐt nghiằm u 2 H (B) với mội f 2 H 2 (S ). Khi đú 1 1 − 1 1 ta cú thº định nghĩa Ănh xÔ Dirichlet-Neumann Λγ : H 2 (S ) ! H 2 (S ) được xĂc định bởi Λγf = γ@νujS1 : 1 Λγf biºu thị dỏng điện đi ra theo hướng phĂp tuyán trản S . Ánh xÔ Dirichlet-Neumann hoàn toàn được xĂc định bơng ph²p đo đạc trản biản. Bài toĂn Calderún đặt ra là náu như ta hiºu Ănh xÔ Dirichlet-Neumann thẳ ta biát được gẳ vã tẵnh dăn cừa vêt thº dăn điện. Trong luên vôn này, cụng viằc cừa người viát là trẳnh bày vẵ dụ mở rởng cừa Alessandrini vã bài toĂn Calderún như x²t được tẵnh ờn định và khụi phục lÔi tẵnh dăn cừa vêt. Ngoài ra người viát quan tƠm đến cĂc kát quÊ vã tẵnh ờn định Cα; 0 < α < 1, cừa T.Barcelo và đồng nghiằp trong bài bĂo [11], tẵnh ờn định Hα; 0 < α < 1, cừa A. Clop và đồng nghiằp trong bài bĂo [5]. Bố cục cừa luên vôn gồm 3 chương: • Chương 1: Trẳnh bày nhỳng kián thực vã giÊi tẵch, khụng gian Sobolev trản xuyán và khụng gian Sobolev trản hẳnh trỏn để sỷ dụng cho cĂc chương sau. • Chương 2: Trẳnh bày cĂc kát quÊ vã tẵnh trơn cừa nghiằm trong phương trẳnh elliptic. Sau đú, tứ định lý vã sự tồn tÔi duy nhĐt nghiằm cừa bài toĂn biản Dirichlet cho phương trẳnh elliptic, người viát trẳnh bày định nghĩa và mởt số tẵnh chĐt cừa Ănh xÔ Dirichlet-Neumann. Trong trường hủp hằ số cừa phương trẳnh elliptic đặc biằt, người viát nhưc lÔi cĂc kát quÊ giỳp cho viằc viát được tường minh Ănh xÔ Dirichlet- Neumann. 4
7. • Chương 3: XuĐt phĂt tứ vẵ dụ cừa Alessandrini, người viát quan tƠm đán lớp tẵnh dăn 8 <>α0 + α1 (a − r) náu 0 < r < a; r = jxj ; γα(x) = (2) :>α0 náu a < r < 1; Đối với lớp tẵnh dăn này, người viát thu được cĂc kát quÊ: (+) Viát tường minh Ănh xÔ Dirichlet - Neumann (D-N). (+) Tẵnh ờn định Lipschitz. (+) Khụi phục được tẵnh dăn tứ Ănh xÔ D-N. Vã tẵnh ờn định cừa cĂc tẵnh dăn trong Cα trong bài bĂo [11], T.Barcelo và đồng nghiằp thu được
   kγ1 − γ2kL1(Ω) ≤ V kΛγ1 − Λγ2 k∗ : Bơng nởi suy dăn đến Cβ ờn định, 0 < β < α: Trong luên vôn, người viát dựng dÂy cĂc tẵnh dăn r  γ (r) = 1 + aαρ ; a > 0; a a trong đú 8 1 <>e r2−1 jrj < 1; ρ (r) = :>0 jrj ≥ 1; để ch¿ ra rơng β khụng thº bơng α: Vã tẵnh ờn định cừa cĂc tẵnh dăn trong Hα trong bài bĂo [5], A.Clop và đồng nghiằp thu được
   kγ1 − γ2kL2(Ω) ≤ V kΛγ1 − Λγ2 k∗ : Bơng nởi suy dăn đến Hβ ờn định, 0 < β < α: Để ch¿ ra β khụng bơng α ta cƯn đến dÂy cĂc tẵnh dăn phực tÔp hơn. Trong trường hủp Cβ ờn định ta cƯn mởt hẳnh trỏn con cỏn trong trường hủp này ta cƯn đến nhiãu hẳnh trỏn con. Khi số hẳnh trỏn con tông ra vụ hÔn ta s³ thĐy khụng Hα ờn định. 5
8. Chương 1 Chuân bị 1.1 Mởt số kián thực giÊi tẵch Ký hiằu Tn là xuyán n chiãu, Tn = Rn=2πZn: Hàm f : Tn ! C được hiºu f : Rn ! C, tuƯn hoàn với chu kỳ 2πZn: Định nghĩa 1.1. Cho p 2 [1; +1); khụng gian Lp(Tn) được định nghĩa như sau 8 9 Z p n < n p = L (T ) := f : R ! C : jf(x)j dx < +1 ; : ; Tn trong đú R là tẵch phƠn Lebesgue trản [0; 2π]n, với chuân Tn 1 0 1 p Z 1 p kfk p n := @ jf(x)j dxA : L (T ) (2π)n Tn Nhên x²t 1.1. (1) L2(Tn) là mởt khụng gian Hilbert trản C, với tẵch vụ hướng 1 Z (f; g) := f(x)g(x)dx; f; g 2 L2( n): L2(Tn) (2π)n T Tn (2) Với n = 1 , T = R=2πZ = S1, hàm f : T = S1 ! C được hiºu f : R ! C, tuƯn hoàn với chu kỳ 2π. (3) Với n = 2, T2 = R2=2πZ2 6= S2, hàm f : T2 ! C được hiºu f : R2 ! C thỏa mÂn 2 f(x1 + k12π; x2 + k22π) = f(x1; x2); 8k1; k2 2 Z; 8(x1; x2) 2 R : Khi đú 2 2 1
   2 2 n 2 n L (T) = L S = L (0; 2π); L (T ) = L ((0; 2π) ) : 6
9. Định nghĩa 1.2. ([8]) Với f 2 L1 (Tn), ta định nghĩa hằ số Fourier thự k cừa f như sau: Z 1 −ikx fb(k) = n f (x) e dx; (2π) (0;2π)n n trong đú k 2 Z , k = (k1; k2; :::; kn), kx = k1x1 + k2x2 + ::: + knxn. Chuội Fourier cừa f là: X ikx fb(k) ek với ek (x) = e : k2Zn Định lý 1.1. ([8])(Tẵnh duy nhĐt ) Cho f 2 L1(Tn). Náu fb(k) = 0 với mọi k 2 Zn thẳ f = 0 hƯu khưp nơi. Chựng minh. Xem chựng minh chi tiát trong [8], Định lý 3:2:4 . Định lý 1.2. ([8]) 2 n P (i) Với mọi f 2 L (T ), tờng riảng Sn;Rf(x) = fb(k)ek(x) hởi tụ đến f trong n k2Z ;jkj |≤R L2(Tn); khi R ! 1: (ii) Với fa g thỏa mÂn P ja j2 < +1: Khi đú tồn tÔi f 2 L2( n) thỏa mÂn k k2Zn k T k2Zn 2 n P fb(k) = ak: Cụ thº f là giới hÔn trong L (T ) cừa akek khi R ! 1: n k2Z ;jkj |≤R Chựng minh. Xem chựng minh chi tiát trong [8], Định lý 3:2:7 . Định lý 1.3. ([8]) Cho f; g 2 L2(Tn); ta cú cĂc đẳng thực sau: (1) Đẳng thực Parseval X (f; g)L2(Tn) = fb(k)gb(k): k2Zn (2) Đẳng thực Plancherel 2 2 X   kfk = f(k) : L2(Tn)  b  k2Zn Chựng minh. Xem chựng minh chi tiát trong [8], Định lý 3:2:7 . PhƯn tiáp theo, ta s³ quan tƠm đến tẵch chêp. Định nghĩa 1.3. Cho f; g là hàm đo được trản Rn, tẵch chêp cừa hai hàm đo được f; g được định nghĩa hẳnh thực như sau Z n (f ∗ g)(x) = f(x − y)g(y)dy; x 2 R : Rn 7
10. 1 n Định nghĩa 1.4. (1) Cho hàm ρ 2 C0 (R ) được xĂc định bởi 8 1 <Ce jxj2−1 náu jxj < 1; ρ(x) = :0 náu jxj ≥ 1; trong đú C là hơng số sao cho R ρ(x)dx = 1: Rn (2) Với mội " > 0, ta định nghĩa 1 x ρ (x) = ρ( ): " "n " 1 n Nhên x²t 1.2. (1) ρ ≥ 0 và ρ 2 C0 (R ), supp ρ = B(0; 1): 1 n (2) ρ" 2 C0 (R ) thỏa mÂn Z ρ"(x)dx = 1; Rn và supp ρ" ⊆ B(0;"): n Mằnh đề 1.1. Với R > 0; " > 0 và x0 2 R : Ta xƠy dựng được mởt hàm cưt " η = χB " (x0) ∗ ρ ; R+ 2 2 thỏa mÂn 1 n n (1) η 2 C0 (R ) và 0 ≤ η ≤ 1 trong R : (2) η = 1 trong BR(x0) và η = 0 ngoài BR+"(x0): C n (3) j 5 ηj ≤ " ; trong R với C là mởt hơng số dương. Chựng minh. Tẵnh toĂn tương tự trong chựng minh Mằnh đề 1:2 trong [3]. Ta cú thº xem u 2 Lp(B) như mởt hàm u 2 Lp(Rn) bơng cĂch cho u = 0 ngoài B. Khi đú sỷ dụng Mằnh đề 1:2 trong [1] ta cú kát quÊ sau. Mằnh đề 1.2. Cho 1 ≤ p < 1: Khi đú với mọi u 2 Lp(B); ta cú p + ρ" ∗ u hởi tụ đến u trong L (B); khi " ! 0 : Định lý 1.4. ([8])(BĐt đẳng thực Young) Cho 1 ≤ p; q ≤ 1 và r ≥ 1 thỏa mÂn 1 1 1 1 + = + : Náu f 2 Lp( n), g 2 Lq( n); thẳ r p q R R kf ∗ gk ≤ kfk kgk : (1.1) Lr(Rn) Lp(Rn) Lq(Rn) Chựng minh. Xem chựng minh chi tiát trong [8], Định lý 1:2:12. 1 1 1 1 1 Nhên x²t 1.3. Với 1 ≤ p; q ≤ 1 và r ≥ 1 thỏa mÂn 1 + = + thẳ 1 ≤ + ≤ 2: r p q p q 8