Luận văn Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Nội dung tài liệu: Luận văn Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của tôi được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 Học viên thực hiện KETTAVONG Chinnalone
4. LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy trong khoa Toán – Tin và cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và làm luận văn tại trường. Và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh chị em, bạn bè gần xa và người thân trong gia đình đã luôn khuyến khích, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. KETTAVONG Chinnalone
5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................... 3 1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính .......................... 3 1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy ............................... 12 1.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính .......................................................................................... 13 1.4. Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ .......................................................... 18 Chương 2. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................... 26 2.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát .............. 26 2.2. Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát .................................. 40 Chương 3. BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................. 46 3.1. Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2) ................................................................................................. 46 3.2. Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2) ............................................ 51 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 61
6. CÁC KÝ HIỆU R( , );R  0, ;R ,0. x x x x x R,  x ,  x . 22 ik – Kronecker tức là: 1 i = k,  ik 0 i k. xx n là vectơ cột n - chiều, i i1 n n R x x x R,i1,n, ii i1  n x x . i i1 Trên Rn ta trang bị các chuẩn n x  xi , i1 x max xi . i 1,n Xx mn Ký hiệu ik mn – ma trận cấp . Đặt Rmn X x x R,i1,m,k1,n. ik mn ik  mn mn Trên R ta có 2 chuẩn sau là tương đương. Nếu X xik R thì mn xx hoặc  ik x max xik . i 1 k 1 i 1,m k 1,n X x , Y y Rmn . Cho ik m n ik m n Ta nói: X Y xik y ik ,i 1,m,k 1,n. X x , X x . ik mn ik mn
7. Cho IR . Ta gọi mỗi ánh xạ X:IR mn là một ma trận hàm cấp m n. t X t x t ik mn Ma trận hàm X t x t gọi là liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, ik mn khả tích, khả vi trên I nếu tất cả các hàm x t,i 1,m;k 1,n có các tính ik chất đó trên I. Cho ma trận hàm X t x t . ik mn dx Đặt X t xik t dt mn X d  x  d  ik II mn C I,Rmn là không gian các ma trận hàm cấp mn liên tục và bị chặn trên I với chuẩn X sup X t : t I . C  Nếu I  a,b,C  a,b,R mn là không gian các ma trận hàm X t x t liên tục trên a,b với chuẩn ik   X max Xt :t a,b C  hoặc X max x t , i 1,m, k 1,n . C ik C  C  a,b ,Rmn là không gian các ma trận hàm cấp m n. X: a,b R mn liên tục tuyệt đối trên a,b với chuẩn b X X a X t dt. C a
8. C I,Rmn là tập các ma trận hàm cấp mn liên tục tuyệt đối trên mọi loc tập con compắc của I. L I,Rmn là không gian các ma trận hàm cấp mn khả tích bậc trên I với chuẩn 1 X X t dt với 1. L I mn Lloc I,R là không gian các ma trận hàm cấp mn khả tích bậc trên mỗi tập con compắc của I. E – ma trận đơn vị.  – ma trận không.
9. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên xuất hiện từ thế kỷ XVIII nhưng đến nay vẫn phát triển mạnh mẽ do có các ứng dụng sâu sắc trong vật lý, cơ học, cơ khí, sinh học... Bài toán trên cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào các điều kiện biên khác nhau như tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm cũng đã được xem xét. Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có rất nhiều ứng dụng trong vật lý và cơ học. Chính vì thế tôi chọn đề tài “bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính”. 2. Ý nghĩa của luận văn Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi nghiên cứu về bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính. 3. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. 4. Nội dung của luận văn Chương1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dụng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này. Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Hơn nữa, ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này. Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.
10. 2 Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 và chương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Ngoài ra, chúng ta cũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểm khi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường.