Luận án Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

Nội dung tài liệu: Luận án Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn 2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2020
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là những công trình của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS. TSKH Phạm Kỳ Anh. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là mới và chưa từng được công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 01 năm 2020 Tác giả Lê Văn Ngọc i
4. LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tâm huyết và tận tình của GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn và GS. TSKH Phạm Kỳ Anh. Đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đã đặt bài toán,dạy dỗ, chỉ bảo tận tình, chu đáo không chỉ trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học mà còn trong cuộc sống suốt quá trình thực hiện luận án. Để hoàn thành các bài báo khoa học, bên cạnh sự giúp đỡ của các GS hướng dẫn và đồng tác giả PGS. TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án đã nhận được sự hỗ trợ và động viên của GS Trần Vũ Thiệu, PGS. TSKH Vũ Hoàng Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười. Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin học, tập thể các Thầy Cô giáo trong bộ môn Toán học Tính toán-Toán ứng dụng, Xêmina bộ môn Toán học Tính toán- Toán ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận án. Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, các Thầy Cô giáo bộ môn Toán và đồng nghiệp trong Khoa Cơ bản 1, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên, tạo điều kiện và giúp đỡ trong công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, GS. TS Đặng Quang Á, GS. TS Cung Thế Anh, PGS. Nguyễn Minh Mẫn, PGS. TS Lê Văn Hiện, PGS. TS Tạ Duy Phượng, PGS. TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hoài đã đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến để tác giả hoàn thiện luận án tốt hơn. ii
5. Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp về toán (VIASM) đã tạo điều kiện, giúp đỡ không chỉ bố trí nơi làm việc, hoàn thiện bài báo cùng với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà còn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học thông qua thưởng công trình cho chính bài báo vào năm 2020. Bên cạnh đó tôi xin cảm ơn các anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp và những người quan tâm tới luận án đã chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm nghiên cứu sinh. Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới những người thân của mình: bố, mẹ, vợ, con và những người thân trong gia đình đã luôn sát cánh, chia sẻ và động viên để tôi cố gắng và hoàn thành tốt luận án. iii
6. MỤC LỤC LỜI CAM ĐOANi LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC1 BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT3 MỞ ĐẦU5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 1.1 Vectơ và ma trận............................ 14 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov..................... 22 1.3 Bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu.............. 26 1.3.1 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến tính............................... 26 1.3.2 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ........................... 28 1.4 Kết luận chương 1........................... 33 Chương 2. TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính......... 34 2.1.1 Tính ổn định vững của hệ tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương................ 34 2.1.2 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương............. 38 2.1.3 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách tiếp cận bằng nguyên lý so sánh nghiệm.......... 45 1
7. 2.2 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ....... 56 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 56 2.2.2 Cận dưới bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ........................... 63 2.3 Kết luận chương 2........................... 73 Chương 3. TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HOÀN 74 3.1 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn........................... 74 3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống............. 76 3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch.............................. 86 3.2 Tính ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn.................... 92 3.3 Kết luận chương 3........................... 103 KẾT LUẬN CHUNG 104 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 2
8. BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R, R+ Tập số thực, số thực không âm tương ứng N Tập số tự nhiên C Tập số phức C+ Tập số phức có phần thực không âm Z Tập số nguyên ı Đơn vị ảo n Cỡ của không gian T Chu kỳ tuần hoàn K Tập số thực hoặc số phức Kn Không gian vectơ n chiều trên trường K rK Bán kính ổn định thực với K = R và phức với K = C Hn Tập các ma trận Hermit cấp n + Hn Tập các ma trận Hermit xác định dương Rez Phần thực của số phức z N Tập các chỉ số xác định N := f1, 2, . . . , Ng Kn×m Tập các ma trận thực hoặc phức cỡ n × m n×m R+ Tập các ma trận thực không âm cỡ n × m I Ma trận đơn vị có chiều tương thích kxk Chuẩn của vectơ x 2 Rn > n x  y xi > yi (8i 2 n), với x = (x1, x2, ..., xn) 2 R > n và y = (y1, y2, ..., yn) 2 R A  B Các phần tử của ma trận A lớn hơn hẳn các phần tử tương ứng của ma trận B s Tín hiệu chuyển mạch của hệ chuyển mạch S Tập các tín hiệu chuyển mạch det A Định thức của ma trận A l(A) l(A) := fl 2 C : det(lI − A) = 0g, phổ của ma trận vuông A m(A) m(A) := maxfRel : l 2 l(A)g, hoành độ phổ của ma trận vuông A A> Ma trận chuyển vị của ma trận A A∗ Ma trận phức liên hợp chuyển vị của ma trận A lmax(A) Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A với A là 3
9. ma trận đối xứng hoặc Hermit lmin(A) Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận A với A là ma trận đối xứng hoặc Hermit s(A) Giá trị kỳ dị của ma trận A smax(A), smin(A) Giá trị kỳ dị lớn nhất, nhỏ nhất của ma trận A r(A) r(A) := maxfjlj : l 2 l(A)g, bán kính phổ của ma trận A M(A) Ma trận Metzler hóa của ma trận A kAk Chuẩn của ma trận A A Tập các ma trận A1, A2,..., AN của hệ chuyển mạch C([a, b], Kn) Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b], nhận giá trị trong Kn với chuẩn kxk = max kx(t)k a≤t≤b BV([a, b], Kp×q) Tập các hàm có biến phân giới nội trên đoạn [a, b] trong Kp×q NBV([−h, 0], Kp×q) Tập các hàm thuộc BV([a, b], Kp×q) và thỏa mãn h(q)= h(a)= 0, với q ≤ a và h(q)= h(b), với q ≥ b QLF Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov functions) CQLF Hàm Lyapunov toàn phương chung (common quadratic Lyapunov functions) FDEs Phương trình vi phân hàm (functional differential equations) 4
10. MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực được bắt đầu nghiên cứu một cách hệ thống từ những năm cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học Nga A.M. Lyapunov cho đến nay vẫn đang phát triển sôi động trong Toán học và trở thành bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đến những năm 60 của thế kỷ XX cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi các bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển. Các bài toán ổn định và điều khiển cho hệ chuyển mạch được các nhà nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại đây tiêu biểu như, Molchanov và Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten và Narendra, 2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek,¨ 2004 ( [24]); Lin và Antsaklis, 2005 ([43])...(xem các bài tổng quan về ổn định và điều khiển của hệ chuyển mạch ([44], [68])). Trong nước, một số tác giả cũng đã quan tâm nghiên cứu về ổn định và điều khiển hệ chuyển mạch như V.N. Phat và cộng sự, 2006 ( [63]); P.K. Anh và P.T. Linh, 2017 ( [5]). Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, chẳng hạn hệ thống cơ khí, ngành công nghiệp ô tô, điều khiển máy bay, chuyển đổi năng lượng (xem trong các cuốn sách Liberzon 2003 [41], Sun và Ge 2011 [71]). Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó. Dưới biểu diễn toán học, một hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân dạng n x˙ = fs(x), t ≥ 0, x(t) 2 K , s 2 S, (1) trong đó K = R hoặc K = C, N := f1, 2, . . . , Ng tập chỉ số, S là tập hợp các hàm hằng từng khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng 5