Luận án Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert

Nội dung tài liệu: Luận án Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert

1. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HËI TỤ CỦA TÊNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUËC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÆNG GIAN HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HÅC NGHỆ AN - 2020
2. BË GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HÅC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HËI TỤ CỦA TÊNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUËC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÆNG GIAN HILBERT Chuy¶n ngành: Lý thuy¸t X¡c su§t và Thèng k¶ To¡n học M¢ sè: 9.46.01.06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HÅC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HÅC PGS.TS. LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN - 2020
3. i LÍI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công tr¼nh nghi¶n cùu cõa tôi. C¡c k¸t qu£ vi¸t chung với c¡c t¡c gi£ kh¡c đã được sự nh§t tr½ cõa đồng t¡c gi£ trước khi đưa vào luªn ¡n. C¡c k¸t qu£ được tr¼nh bày trong luªn ¡n là trung thực và chưa tøng được ai công bè trước đó. T¡c gi£ Nguy¹n Thị Thanh Hi·n
4. ii LÍI CẢM ƠN Luªn ¡n đưñc hoàn thành t¤i Trường Đại học Vinh dưới sự hướng d¨n cõa PGS.TS. L¶ V«n Thành. Lời đầu ti¶n, t¡c gi£ xin được bày tỏ láng bi¸t ơn ch¥n thành và s¥u s­c cõa m¼nh tới PGS.TS. L¶ V«n Thành, người đã đặt bài to¡n, định hướng nghi¶n cùu, động vi¶n, giúp đỡ tªn t¼nh và chu đáo trong suèt qu¡ tr¼nh t¡c gi£ học tªp và thực hi»n luªn ¡n. T¡c gi£ xin c£m ơn ThS. Vũ Thị Ngọc Ánh và TS. Vã Thị Hồng V¥n v· nhúng th£o luªn và góp ý tø lúc vi¸t b£n th£o cho tới khi hoàn thi»n luªn ¡n. Trong qu¡ tr¼nh hoàn thành luªn ¡n, t¡c gi£ đã nhªn được sự quan t¥m và góp ý cõa GS.TS. Nguy¹n V«n Qu£ng, TS. Nguy¹n Thị Th¸, TS. Nguy¹n Trung Háa, TS. Nguy¹n Thanh Di»u, TS. Dương Xu¥n Gi¡p, PGS.TS. Phan Đức Thành, PGS.TS. Tr¦n Xu¥n Sinh cùng c¡c nhà khoa học và c¡c đồng nghi»p trong bë môn X¡c su§t thèng k¶ và To¡n ùng dụng. T¡c gi£ xin ch¥n thành c£m ơn v· nhúng sự giúp đỡ quý b¡u đó. T¡c gi£ xin được gûi lời c£m ơn tới Vi»n Sư ph¤m Tự nhi¶n và Pháng Đào t¤o Sau đ¤i học, Trường Đại học Vinh v· sự hé trñ và t¤o mọi điều ki»n thuªn lñi để t¡c gi£ hoàn thành nhi»m vụ cõa mët nghi¶n cùu sinh. T¡c gi£ cũng xin gûi lời c£m ơn tới b¤n b± đồng nghi»p, c¡c nghi¶n cùu sinh, c¡c thành vi¶n trong nhóm seminar do PGS.TS. L¶ V«n Thành chõ tr¼ v· nhúng góp ý, th£o luªn bê ½ch. Cuèi cùng, t¡c gi£ xin gûi tới gia đình, người th¥n, b¤n b± lời bi¸t ơn ch¥n thành và s¥u s­c v· sự động vi¶n, chia s´ đã dành cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh học tªp, nghi¶n cùu và công t¡c. Nguy¹n Thị Thanh Hi·n
5. iii MỤC LỤC Mët sè ký hi»u thường dùng trong luªn ¡n 1 Mở đầu 3 Chương 1. Ki¸n thùc chu©n bị 10 1.1. Bi¸n ng¨u nhi¶n phụ thuëc ¥m, bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m.. 11 1.2. Ph¦n tû ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m, ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc ¥m 16 1.3. Hàm bi¸n đổi chªm...................... 23 Chương 2. Luªt sè lớn và sự hëi tụ đầy đủ cõa d¢y c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc ¥m đôi mët theo tọa độ nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert 31 2.1. Luªt m¤nh sè lớn và sự hëi tụ đầy đủ............. 32 2.2. Luªt y¸u sè lớn......................... 43 Chương 3. Luªt sè lớn và sự hëi tụ đầy đõ cõa d¢y c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo tọa độ nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert 56 3.1. Luªt m¤nh sè lớn và sự hëi tụ đầy đủ............. 57 3.2. Luªt y¸u sè lớn......................... 71 K¸t luªn và ki¸n nghị 78 Danh mục c¡c công tr¼nh li¶n quan trực ti¸p đến luªn ¡n 80 Tài li»u tham kh£o 81
6. 1 MËT SÈ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tªp hñp c¡c sè nguy¶n dương R Tªp hñp c¡c sè thực (Ω; F; P) Không gian x¡c su§t đầy đủ H Không gian Hilbert thực, kh£ ly B(H) σ- đại sè Borel cõa H B Tªp c¡c ch¿ sè cõa h» cơ sở trực chu©n cõa H log x Logarit cơ sè 2 cõa sè thực dương x ln x Logarit tự nhi¶n cõa sè thực dương x + a maxfa; 0g, trong đó a 2 R − a max{−a; 0g, trong đó a 2 R EX Kỳ vọng cõa bi¸n ng¨u nhi¶n hoặc ph¦n tû ng¨u nhi¶n X Var(X) Phương sai cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X Cov(X; Y ) Covariance cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n X và Y I(A) Hàm ch¿ ti¶u cõa tªp hñp A h.c.c. H¦u ch­c ch­n P Xn ! XXn hëi tụ theo x¡c su§t đến X L2 Xn ! XXn hëi tụ theo trung b¼nh c§p 2 đến X jAj Lực lượng cõa tªp hñp A X(j) Tọa độ thù j cõa ph¦n tû ng¨u nhi¶n X h·; ·i T½ch vô hướng trong H k:k Chu©n sinh bởi t½ch vô hướng trong H kXk Chu©n cõa ph¦n tû ng¨u nhi¶n X [x] Ph¦n nguy¶n cõa sè thực x X =d Y C¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n X và Y cùng ph¥n phèi lim inf An Giới h¤n dưới cõa d¢y c¡c bi¸n cè fAng lim sup An Giới h¤n tr¶n cõa d¢y c¡c bi¸n cè fAng N(0; 1) Ph¥n phèi chu©n t­c
7. 2 N(µ, σ2) Ph¥n phèi chu©n với c¡c tham sè µ, σ2 f(n) f(n) ∼ g(n) lim = 1, trong đó f(n) và g(n) là c¡c hàm sè dương n!1 g(n) tr. i Trang thù i trong tài li»u được tr½ch d¨n tr. i-j Tø trang thù i đến trang thù j trong tài li»u được tr½ch d¨n RV Họ c¡c hàm bi¸n đổi ch½nh quy SV Họ c¡c hàm bi¸n đổi chªm K H¬ng sè dương và có thº không gièng nhau ở méi l¦n xu§t hi»n an = o(1) lim an = 0 n!1 2 K¸t thúc chùng minh
8. 3 MÐ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Luªt sè lớn là mët bài to¡n cê điển cõa lý thuy¸t x¡c su§t, nó kh¯ng định trung b¼nh cëng cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n độc lªp, cùng ph¥n phèi hëi tụ h¦u ch­c ch­n hoặc hëi tụ theo x¡c su§t v· kỳ vọng cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n đó. Tuy nhi¶n, nó v¨n luôn là v§n đ· thời sự, được nhi·u nhà to¡n học quan t¥m, nghi¶n cùu và có nhi·u ùng dụng trong thèng k¶, to¡n kinh t¸, khoa học tự nhi¶n và mët sè lĩnh vực kh¡c. Ch½nh v¼ vªy, vi»c nghi¶n cùu luªt sè lớn không ch¿ có ý nghĩa lý thuy¸t mà cán có ý nghĩa thực ti¹n. 1.2. T½nh độc lªp cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n đóng mët vai trá quan trọng khi nghi¶n cùu v· lý thuy¸t x¡c su§t. Tuy nhi¶n, c¡c hi»n tượng ng¨u nhi¶n x£y ra trong thực ti¹n thường phụ thuëc l¨n nhau. Do đó, chúng ta ph£i t¼m hiºu, nghi¶n cùu c¡c kiºu phụ thuëc kh¡c nhau cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n để phù hñp với nhúng bài to¡n ùng dụng trong thực t¸ như: phụ thuëc martingale, phụ thuëc địa phương (local dependence), li¶n k¸t ¥m (negative association), phụ thuëc ¥m (negative dependence),... Nhúng thông tin v· ph¥n phèi, c¡c đặc trưng, d¡ng điệu,...cõa têng c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n phụ thuëc (khi sè c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n đủ lớn) có r§t nhi·u ùng dụng trong thèng k¶, khoa học m¡y t½nh, ma trªn ng¨u nhi¶n, to¡n tài ch½nh, điều khiºn tèi ưu,...Tùy vào tøng c§u trúc phụ thuëc kh¡c nhau mà chúng ta c¦n có nhúng kỹ thuªt, công cụ kh¡c nhau để gi£i quy¸t c¡c bài to¡n với c¡c c§u trúc phụ thuëc tương ùng. 1.3. Sự ph¡t triºn c¡c định lý giới h¤n trong lý thuy¸t x¡c su§t đã d¨n đến nhi·u k¸t qu£ têng qu¡t hơn c¡c k¸t qu£ cê điển. Mët trong nhúng hướng têng qu¡t đó là, tø nhúng k¸t qu£ đã có đối với c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trị thực mở rëng sang cho c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trị
9. 4 trong c¡c không gian trøu tượng kh¡c nhau như: không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert,... Khi nghi¶n cùu v· luªt sè lớn và c¡c định lý giới h¤n, đã có r§t nhi·u t¡c gi£ thu được nhúng k¸t qu£ tèt như: Gilles Pisier, Michel Talagrand, Andrew Rosalsky, Pedro Ter¡n, Nguy¹n V«n Qu£ng, Nguy¹n Tr¦n Thuªn,... 1.4. Sự hëi tụ cõa têng có trọng sè c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n có nhi·u ùng dụng trong điều khiºn ng¨u nhi¶n và thèng k¶ to¡n học, như c¡c mô h¼nh hồi quy phi tham sè, phương ph¡p đánh gi¡ b¼nh phương tèi thiºu,... Bài to¡n đánh gi¡ b¼nh phương tèi thiºu cõa mô h¼nh hồi quy bëi ng¨u nhi¶n được khởi xướng trong bài b¡o n«m 1978 bởi c¡c t¡c gi£ Lai, Robbins và Wei [31]. Kº tø đó đến nay, mô h¼nh này được k¸ thøa và ti¸p tục ph¡t triºn trong c¡c mô h¼nh phụ thuëc kh¡c nhau, ch¯ng h¤n như Breton, Musiela x²t cho qu¡ tr¼nh nûa martingale [8] và g¦n đây là công tr¼nh cõa Arie Preminger và Giuseppe Storti x²t cho qu¡ tr¼nh nhi¹u có x¡c su§t đuôi r§t lớn [2]. Bài to¡n mô h¼nh hồi quy phi tham sè cũng được đưa v· têng có trọng sè c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n. Với c¡c lý do n¶u tr¶n, chúng tôi chọn đề tài nghi¶n cùu cho luªn ¡n là: “Sự hëi tụ cõa têng c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert”. 2. Mục đích nghi¶n cùu Trong luªn ¡n này, chúng tôi nghi¶n cùu đi·u ki»n để d¢y c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert thỏa m¢n luªt m¤nh sè lớn, luªt y¸u sè lớn và sự hëi tụ đầy đủ. Cụ thº, chúng tôi nghi¶n cùu c¡c nëi dung sau: - Nghi¶n cùu c¡c b§t đẳng thùc và c¡c t½nh ch§t li¶n quan đối với têng c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert; - X¥y dựng kh¡i ni»m phụ thuëc ¥m theo tọa độ, phụ thuëc ¥m đôi mët theo tọa độ đối với c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trị trong không gian
10. 5 Hilbert; - Thi¸t lªp luªt y¸u sè lớn đối với têng ng¨u nhi¶n và têng không ng¨u nhi¶n cõa c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc ¥m, li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert; - Thi¸t lªp luªt m¤nh sè lớn đối với d¢y c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc ¥m, li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert; - T¼m c¡c v½ dụ và ph£n v½ dụ để minh họa cho c¡c k¸t qu£ lý thuy¸t; - Nghi¶n cùu và đề xu§t c¡c điều ki»n để thu được sự hëi tụ đầy đủ đối với têng có trọng sè c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n phụ thuëc nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert. 3. Đối tượng nghi¶n cùu Đối tượng nghi¶n cùu ch½nh cõa luªn ¡n bao gồm: - C¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m, phụ thuëc ¥m, phụ thuëc ¥m đôi mët đối với c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trị trong không gian Hilbert; - C¡c định lý giới h¤n d¤ng luªt y¸u sè lớn, luªt m¤nh sè lớn, sự hëi tụ đầy đủ. 4. Ph¤m vi nghi¶n cùu Ph¤m vi nghi¶n cùu chõ y¸u cõa luªn ¡n là t½nh phụ thuëc trong lý thuy¸t x¡c su§t, sự hëi tụ cõa têng c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n. 5. Phương ph¡p nghi¶n cùu - Ph¥n t½ch c¡c k¸t qu£ đã đạt được, tø đó ph¡t triºn c¡c kỹ thuªt, k¸t qu£ đó vào nhúng mô h¼nh có c¡c c§u trúc tương tự, hoặc c¡c mô h¼nh têng qu¡t hơn; - Tê chùc seminar khoa học, tê chùc c¡c buêi trao đêi trong nhóm nghi¶n cùu với c¡c nhà khoa học trong và ngoài nước để th£o luªn làm n£y sinh c¡c ý tưởng, kĩ thuªt mới. 6. Ý nghĩa khoa học và thực ti¹n C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n góp ph¦n làm phong phú th¶m cho hướng nghi¶n