Luận án Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian chín chiều

Nội dung tài liệu: Luận án Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian chín chiều

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Sơn MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015
2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Sơn MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU Chuyên Ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 62 44 01 01 Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Ngọc Giao Phản biện 2: PGS.TS. Hồ Trung Dũng Phản biện 3: TS. Võ Văn Ớn Phản biện độc lập 1: GS.TS. Nguyễn Ngọc Giao Phản biện độc lập 2: GS.TS. Hoàng Ngọc Long NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015
3. LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS. TSKH. Lê Văn Hoàng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thầy đã hết sức tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và cả nhắc nhở để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tôi xin cảm ơn tất cả thầy, cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết, trường Đại học Khoa học tự nhiên TP. HCM đã truyền thụ những kiến thức khoa học trong suốt quá trình tôi tham gia học tập tại bộ môn. Tôi xin cảm ơn Khoa Khoa học cơ bản, trường Đại học Kiến trúc TP. HCM đã tạo thuận lợi về công việc và thời gian để tôi có thời gian tập trung nghiên cứu hoàn thành luận án. Xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong nhóm nghiên cứu của thầy Lê Văn Hoàng, các đồng nghiệp - những người luôn bên tôi, hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt khóa học và trong quá trình làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học – Trường Đại học Khoa học tự nhiên TP. HCM đã tận tình hướng dẫn, hỗ trợ mọi thủ tục trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu. Cảm ơn gia đình đã luôn ở bên tôi để động viên giúp tôi vững tin học tập và nghiên cứu. Nguyễn Thành Sơn
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào mà tôi không tham gia. Tác giả Nguyễn Thành Sơn
5. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT: CERN: Trung tâm nghiên cứu nguyên tử Châu Âu (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) LHC: Máy gia tốc hạt lớn (Large Hadron Collider) RHIC: Máy gia tốc Ion nặng tương đối tính (Relativistic Heavy Ion Collider) MICZ-Kepler: Bài toán chuyển động của electron trong trường Coulomb và trường đơn cực từ được ba nhà khoa học McIntosh, Cisneros và Zwanziger đưa ra như một dạng mở rộng của bài toán Kepler.
6. MỤC LỤC ................................................................................................. Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Danh mục các chữ viết tắt Mục lục ........................................................................................................................ 1 Mở đầu ....................................................................................................................... 3 Chương 1: Đơn cực từ và phép biến đổi Hurwitz ............................................... 10 1.1. Đơn cực từ .......................................................................................................... 10 1.1.1. Tổng quan về đơn cực từ .......................................................................... 10 1.1.2. Đơn cực từ Dirac ...................................................................................... 16 1.1.3. Đơn cực trong không gian nhiều chiều ..................................................... 18 1.2. Định lý Hurwitz.................................................................................................. 20 1.3. Các phép biến đổi Hurwitz và mối quan hệ với đơn cực ................................... 21 1.3.1. Phép biến đổi Levi-Civita .......................................................................... 22 1.3.2. Phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel ......................................................... 24 1.3.3. Phép biến đổi Davtyan .............................................................................. 26 1.3.4. Phép biến đổi Hurwitz mở rộng ................................................................ 29 Chương 2: Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều ..................................... 30 2.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz mở rộng ............................................ 31 2.2. Mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều ... 34 2.3. Thế đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều .................................................... 36 Chương 3: Lời giải giải tích chính xác cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều . 46 3.1. Bài toán MICZ-Kepler chín chiều ..................................................................... 47 1
7. 3.2. Hàm sóng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều .............................................. 50 3.2.1. Thành phần hàm sóng theo nhóm các góc (,) ...................................... 50 3.2.2. Thành phần hàm sóng theo góc  ............................................................. 55 3.2.3. Thành phần hàm sóng theo bán kính r .................................................... 57 3.3. Năng lượng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều ............................................ 59 3.3.1. Biểu thức năng lượng ................................................................................ 59 3.3.2. Bậc suy biến ............................................................................................... 60 Kết luận .................................................................................................................... 63 Hướng phát triển ....................................................................................................... 64 Danh mục các công trình công bố ............................................................................. 65 Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 66 Phụ lục: Các tính toán tường minh............................................................................ 76 A1. Phép biến đổi ngược ........................................................................................... 76 A2. Tính đạo hàm các góc theo uvss, ....................................................................... 78 A3. Tính toán dẫn đến biểu thức (2.10) ................................................................... 81 A4. Tính toán dẫn đến biểu thức (2.14) ................................................................... 83 ˆ A5. Hệ toán tử Lij trong hệ tọa độ cầu .................................................................... 109 A6. Giải phương trình siêu bội dạng (3.18) ............................................................ 112 A7. Hệ số Clebsch-Gordan ..................................................................................... 116 2
8. Mở đầu 1. Trường điện từ được mô tả thông qua hệ các phương trình Maxwell. Bằng phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên có thể sinh ra từ trường và ngược lại. Tuy nhiên, nguồn sinh ra hai trường này không tuân theo quy luật tương tự nhau. Điện trường có nguồn là điện tích còn từ trường không có nguồn phát tường minh (thông lượng từ đi qua mặt kín bất kỳ luôn bằng không). Điều này làm mất đi tính đối ngẫu của điện-từ. Dirac là người đầu tiên giải quyết vấn đề này về mặt lý thuyết. Năm 1931, Dirac đã đưa “từ tích” vào công trình của mình và kết luận sự lượng tử hóa của từ tích liên quan chặt chẽ với sự lượng tử của điện tích thông qua phương trình lượng tử hóa Dirac [25]. Tương tự như trường tĩnh điện, từ trường do từ tích gây ra có tính chất: (i) thông lượng từ xuyên qua mặt kín là khác không và (ii) trường có đối xứng cầu O(3). Dựa trên tính chất cơ bản của đơn cực từ Dirac, năm 1978, Yang đã mở rộng đơn cực Dirac cho không gian 5 chiều qua mô hình tương tác giữa trường gauge SU(2) với hạt có isospin [95]. Tính chất cơ bản của trường đơn cực Yang là: (i) thông lượng trường qua một mặt kín trong không gian 5 chiều chứa đơn cực là khác không và (ii) trường có đối xứng cầu O(5). Chúng ta sẽ gọi một đơn cực là mở rộng của đơn cực Dirac và đơn cực Yang nếu như nó có các tính chất tương tự như trên. Với kết quả của Yang, mở rộng đơn cực từ cho không gian nhiều chiều là một nhu cầu tự nhiên và đã được tiến hành trong một số công trình [59, 93]. 3
9. Một điều đặc biệt mà nhiều công trình đã nghiên cứu đó là đơn cực Dirac, Yang và mở rộng của nó có liên hệ mật thiết với phân thớ không gian Hopf [102-103] trong lý thuyết Tô-pô và sự tồn tại của các bộ số trong đại số học [101]. Năm 1935, Hopf khẳng định chỉ tồn tại 4 trường hợp phân thớ không gian là (0th ) :SS 1 1 , 1 3 7 (1st ) :SS 3 S 2 , (2nd ) : SS 7 S 4 và (3rd ) : SS 15 S 8 . Sau đó, năm 1980, đơn cực Dirac-U(1), Yang-SU(2) đã được xây dựng từ phân thớ Hopf thứ nhất [85, 54] và phân thớ Hopf thứ hai [55]. Đơn cực trong không gian 9 chiều cũng được đề xuất [28, 11] ứng trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf. Một hướng tiếp cận khác, trong đại số học, năm 1898, Hurwitz đã chứng minh và khẳng định chỉ tồn tại bốn bộ số trong đại số chia chuẩn hóa là số thực, số phức, số siêu phức bội 4 (quarternion) và số siêu phức bội 8 (octonion) [101] tương ứng với bốn trường hợp trong định lý Hurwitz. Các trường hợp này lần đầu tiên được cụ thể hóa bằng các phép biến đổi thiết lập mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa 2h chiều và bài toán nguyên tử hydro 21h 1 chiều h 1,2,3,4 tương ứng với các phép biến đổi Levi-Civita [104] h 1 , Kustaanheimo-Stiefel [40] h 2 , Davtyan [24] h 3 và Hurwitz mở rộng [47] h 4 . Một điều rất thú vị là các phép đổi Kustaanheimo-Stiefel, Davtyan làm xuất hiện đơn cực Dirac và Yang trong bài toán nguyên tử hydro 3 và 5 chiều. Theo logic như trên, trong trường hợp h 4 ứng với phép biến đổi Hurwitz mở rộng, nếu chúng ta xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều thì chúng ta có thể kỳ vọng tìm thấy thế đơn cực là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang trong không gian 9 chiều. Năm 2009, chúng tôi đã xây dựng phép biến đổi Hurwitz mở rộng với 7 biến số góc được đưa ra. Sử dụng phép biến đổi này chúng tôi đã kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều. Chúng tôi cũng hình dung được một bộ thế đơn cực ẩn trong bài toán. Tiếp theo chúng tôi sẽ xác định rõ bộ thế đơn cực và tính chất của chúng, kỳ vọng nó là thế đơn cực mở rộng của Dirac và Yang trong không gian 9 chiều. 4
10. Như vậy, việc mở rộng đơn cực Dirac sẽ có 3 phương pháp tiếp cận chính: thứ nhất là mở rộng trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản đơn cực Dirac, thứ hai là sử dụng phân thớ Hopf và cuối cùng là sử dụng phép biến đổi Hurwitz. Nội dung nghiên cứu của chúng tôi là sẽ sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng để xây dựng bộ thế đơn cực từ trong không gian 9 chiều. Tính chất của bộ thế sẽ được nghiên cứu để khẳng định nó là đơn cực mở rộng của Dirac và Yang trong không gian 9 chiều. 2. Bài toán MICZ-Kepler 3 chiều được Zwanziger, McIntosh và Cisneros xây dựng từ những năm 60 [56, 99] bằng cách mở rộng bài toán Kepler khi thêm vào hệ này trường đơn cực từ Dirac. Đây là một bài toán quan trọng được khảo sát nhiều bằng các phương pháp khác nhau trong vài thập niên qua và đến bây giờ vẫn còn được quan tâm [13-14, 17-18, 38-39, 69, 73]. Hàm sóng, năng lượng của bài toán được giải bằng các phương pháp khác nhau [13, 17-18, 39]. Sự có mặt của đơn cực Dirac trong bài toán MICZ-Kepler không ảnh hưởng đến các đối xứng không gian SO(3) và đối xứng động lực SO(4,2) của bài toán Kepler. Bài toán cũng có đối xứng ẩn SO(4) là vector Runge-Lenz giống bài toán Kepler 3 chiều thông thường. Cùng với việc mở rộng đơn cực trong không gian nhiều chiều, bài toán MICZ- Kepler cũng được mở rộng khảo sát trong không gian nhiều chiều [12, 60, 63, 93]. 5